机器学习梯度下降算法

2019-04-26 CD Comments 0 Comment

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当模型和损失函数形式较为简单时，误差最小化问题的解可以直接用公式表达出来，这类解叫作解析解，例如文章机器学习线性回归与最小二乘法中讲解的算法就属于此类。然而，大多数机器学习模型并没有解析解，只能通过优化算法有限次迭代模型参数来尽可能降低损失函数的值，这类解叫作数值解。在求解数值解的优化算法中，梯度下降算法被广泛使用。

梯度

在微积分里面，对多元函数的参数求偏导数，把求得的各个参数的偏导数以向量的形式写出来，就是梯度。比如函数 $f(x,y)$ , 分别对x,y求偏导数，求得的梯度向量就是 $(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y})^T$ ,简称 $\nabla f(x,y)$ 。对于在点 $(x_0,y_0)$ 的具体梯度向量就是 $(\frac{\partial f}{\partial {x_0}}, \frac{\partial f}{\partial {y_0}})^T$ 或者 $\nabla f(x_0,y_0)$ 。

梯度向量从几何意义上讲，就是函数变化增加最快的地方。具体来说，对于函数 $f(x,y)$ ,在点 $(x_0,y_0)$ ，沿着梯度向量 $(\frac{\partial f}{\partial {x_0}}, \frac{\partial f}{\partial {y_0}})^T$ 的方向是 $f(x,y)$ 增加最快的地方。或者说，沿着梯度向量的方向，更加容易找到函数的最大值。反过来说，沿着梯度向量相反的方向，也就是 $-(\frac{\partial f}{\partial {x_0}}, \frac{\partial f}{\partial {y_0}})^T$ 的方向，函数减少最快，也就是更加容易找到函数的最小值。

梯度下降

在机器学习算法中，在最小化损失函数时，可以通过梯度下降法来一步步的迭代求解，得到模型参数值。

首先来看看梯度下降的一个直观解释。比如我们在一座大山上的某处位置，由于我们不知道怎么下山，于是决定走一步算一步，也就是在每走到一个位置的时候，求解当前位置的梯度，沿着梯度的负方向，也就是沿着当前最陡峭的方向向下走一步。这样一步步的走下去，一直走到觉得我们已经到了山脚。当然这样走下去，有可能我们无法走到山脚，而是到了某一个局部的山谷。从上面的解释可以看出，梯度下降不一定能够找到全局的最优解，有可能是一个局部最优解。当然，如果损失函数是凸函数，梯度下降法得到的解就一定是全局最优解。

下面我们从数学上解释梯度下降算法的计算过程和思想。

$\theta^1=\theta^0-\alpha \nabla J(\theta)$

此公式的意义是：J是关于 $\theta$ 的损失函数，我们当前所处的位置为 $\theta ^0$ 点，要从这个点走到J的最小值点，也就是山底。首先我们要确定前进的方向，也就是梯度的反向，然后走一段距离的步长，也就是 $\alpha$ ，走完这段步长，就到达了 $\theta^1$ 这个点。

$\alpha$ 在梯度下降算法中被称作为学习率或者步长，意味着我们可以通过 $\alpha$ 来控制每一步走的距离， $\alpha$ 不能太大也不能太小，太小可能迟迟走不到最低点，太大可能会错过最低点。

梯度下降算法的矩阵描述

我们以线性回归模型 $f(X) = X \theta$ 为例，其中X为样本特征矩阵， $\theta$ 为模型参数向量。

损失函数为：

$J(\theta)=(X\theta-Y)^T(X\theta-Y)$

J(θ)的梯度为：

$\nabla J(\theta)=X^T(X\theta-Y)$

则θ的更新表达式为：

$\theta := \theta-\alpha X^T(X\theta-Y)$

我们需要给 $\theta$ 设定一个初始值，并给 $\alpha$ 设定一个合适的值，按照上面的更新表达式迭代设定的次数，便能得到使 $J(\theta)$ 最小化的 $\theta$ 值。

类比下山的场景：给 $\theta$ 设定的初始值代表着下山的起始位置， $J(\theta)$ 的梯度代表着山上当前点最陡峭的方向， $\alpha$ 代表着从山上当前点沿最陡峭的方向所走的距离，每一次迭代计算得到 $\theta$ 则组成了下山的路径，当 $J(\theta)$ 取得最小值时代表着走到了山脚，而此时 $\theta$ 的值就是我们想要计算得到的最终结果了。