吴恩达深度学习课程笔记-神经网络编程基础-逻辑回归

2020-03-07 CD Comments 0 Comment

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吴恩达深度学习课程笔记

第二周：神经网络编程基础(Basics of Neural Network programming)

2.2 逻辑回归(Logistic Regression)

对于二元分类问题来讲，给定一个输入特征向量 $X$ ，它可能对应一张图片，你想识别这张图片看它是否是一只猫。你想要一个算法能够输出预测，称之为 $\hat{y}$ ，也就是你对实际值 $y$ 的估计。更正式的来说，你想让 $\hat{y}$ 表示 $y$ 等于 1 的一种可能性，前提条件是给定了输入特征 $X$ 。换句话来说，如果 $X$ 是图片的特征向量，你想让 $\hat{y}$ 来告诉你这是一张猫的图片的几率有多大。 $X$ 是一个 $n_{x}$ 维的向量（相当于有 $n_{x}$ 个特征的特征向量），我们用 $w$ 来表示逻辑回归的参数，这也是一个 $n_{x}$ 维向量（因为 $w$ 实际上是特征权重，维度与特征向量相同），参数里面还有 $b$ ，这是一个实数，表示偏差。

所以给出输入 $x$ 以及参数 $w$ 和 $b$ 之后，如何输出预测值 $\hat{y}$ 呢？一种方式是令 $\hat{y} = w^{T}x + b$ 。这时候我们得到的是一个关于输入 $x$ 的线性函数，实际上这是你在做线性回归时所用到的，但是对于二元分类问题这不是一个好的算法。因为 $\hat{y}$ 表示实际值 $y$ 等于 1 的几率， $\hat{y}$ 应该在 0 到 1 之间，而 $w^{T}x + b$ 可能比 1 要大得多，也可能是一个负值，对于在 0 和 1 之间的概率来说它是没有意义的。因此在逻辑回归中，我们采用如下算法： $\hat{y} = \sigma(w^{T}x + b)$ ，这样就将线性函数转换为非线性函数了。

下图是 $sigmoid$ 函数的图像，如果将水平轴作为 $z$ 轴，那么关于 $z$ 的 $sigmoid$ 函数是是平滑地从 0 走向 1，曲线与纵轴相交的截距是 0.5。

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$sigmoid$ 函数是这样定义的：

$\sigma(z)=\frac {1}{1+e^{-z}}$

$z = w^{T}x + b$

$z$ 是一个实数，如果 $z$ 非常大，则 $\sigma(z)$ 会非常接近 1；相反的，如果 $z$ 非常小，或者说是一个绝对值很大的负数，那么 $\sigma(z)$ 会非常接近 0。因此当你实现逻辑回归时，你的工作就是去让机器学习参数 $w$ 以及 $b$ ，这样才使得 $\hat{y}$ 成为对 $y = 1$ 这一情况的概率的一个很好的估计。