吴恩达深度学习课程笔记-神经网络编程基础-逻辑回归损失函数

2020-03-14 CD Comments 0 Comment

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吴恩达深度学习课程笔记

第二周：神经网络编程基础(Basics of Neural Network programming)

2.3 逻辑回归损失函数(Logistic Regression cost function)

为了训练逻辑回归模型的参数 $w$ 和参数 $b$ ，我们需要一个损失函数，通过训练损失函数来得到参数 $w$ 和参数 $b$ 。先看一下逻辑回归的输出函数：

$\hat{y} = \sigma(w^{T}x + b),$ where $\sigma(z)=\frac {1}{1+e^{-z}}$

Given $\lbrace (x^{(1)},y^{(1)}),...,(x^{(m)},y^{(m)}) \rbrace$ , want $\hat{y}^{(i)} \approx y^{(i)}$ .

为了让模型通过学习调整参数，你需要提供一个具有 $m$ 个样本的训练集，然后在训练集上找到参数 $w$ 和参数 $b$ ，来得到你的输出。对训练集的预测值，我们将它写成 $\hat{y}$ ，我们希望它会接近于训练集中的 $y$ 值。

损失函数又叫做误差函数，用来衡量算法的运行情况，Loss function: $L(\hat{y},y)$

我们将 L 称为损失函数，来衡量预测输出值和实际值有多接近。一种常用的损失函数为平方差： $L(\hat{y},y) = \frac {1}{2} (\hat{y}-y)^{2}$ ，但是在逻辑回归中我们不这么做，因为如果采用平方差作为损失函数，当我们在学习逻辑回归参数的时候，会发现我们的优化目标不是凸优化，只能找到多个局部最优值，梯度下降法很可能找不到全局最优值。

我们在逻辑回归模型用到的损失函数是这样的：

$L(\hat{y},y) = -(ylog(\hat{y}) + (1-y)log(1-\hat{y}))$

为什么要用这个函数作为逻辑回归的损失函数？对于损失函数，我们想让它尽可能地小，我们举两个例子就容易理解了：

当 $y=1$ 时， $L = -log(\hat{y})$ ，如果想要 L 尽可能小，那么 $\hat{y}$ 就要尽可能大，因为 sigmoid 函数取值范围在 0 到 1 之间，所以 $\hat{y}$ 需要无限接近于 1。

当 $y=0$ 时， $L = -log(1-\hat{y})$ ，如果想要 L 尽可能小，那么 $\hat{y}$ 就要尽可能小，因为 sigmoid 函数取值范围在 0 到 1 之间，所以 $\hat{y}$ 需要无限接近于 0。

可以看到当 $\hat{y}$ 与 $y$ 越接近时，损失函数越小，这是符合我们预期的。

损失函数是对单个训练样本定义的，它衡量的是算法在单个训练样本中的表现如何，为了衡量算法在全部训练样本上的表现，我们需要定义一个算法的代价函数，算法的代价函数是对 $m$ 个样本的损失函数求和然后除以 $m$ ：

$J(w,b) = \frac {1}{m} \sum_{i=1}^{m} L(\hat{y}^{(i)},y^{(i)}) = -\frac {1}{m} \sum_{i=1}^{m}(y^{(i)}log(\hat{y}^{(i)}) + (1-y^{(i)})log(1-\hat{y}^{(i)}))$